Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Національний Університет “Львівська Політехніка”
Кафедра ЕОМ
ДОСЛІДЖЕННЯ ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТЕЙ
Методичні вказівки до розрахункової роботи
з дисципліни “Цифрова обробка сигналів ”
для студентів спеціальності "Комп'ютерні системи та мережі"
Затверджено на засіданні кафедри Електронних обчислювальних машин Протокол № від року
Львів – 2013
Дослідження дискретного перетворення Фур’є та його властивостей: Методичні вказівки до розрахункової роботи з дисципліни “Цифрова обробка сигналів” для студентів спеціальностей 7.091501 і 8.091501 "Комп'ютерні системи та мережі", / Укладачі: Є. Ваврук, О Лашко – Львів: Національний університет “Львівська політехніка”, 2013, 15 с.
Укладачі: Є. Ваврук, к.т.н., доцент.
О. Лашко, ст. викладач.
Відповідальний за випуск: Мельник А. О., професор, завідувач кафедри
Рецензенти: Парамуд Я.С., к. т. н, доцент
Попович Р.Б., к. т. н, доцент
Мета роботи:
освоїти методику обчислення спектральних характеристик сигналу за допомогою перетворення Фур’є та дослідити його властивості.
ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Одним з основних методів частотного аналізу й обробки сигналів є перетворення Фур’є. Розрізняють поняття “перетворення Фур’є” і “ряд Фур’є”. Перетворення Фур’є припускає неперервний розподіл частот, ряд Фур’є задається на дискретному наборі частот. Сигнали також можуть бути задані в наборі часових відліків або як неперервна функція часу. Це дає чотири варіанти перетворень
перетворення Фур’є з неперервним або з дискретним часом (частота - неперервна);
ряд Фур’є з неперервним часом або з дискретним часом (частота - дискретна).
Інтегральне перетворення Фур’є (ПФ).
Пряме перетворення (Фур’є- аналіз) :
або:
Обернене перетворення (Фур’є- синтез) :
або:
Вони виконуються коли функція є повністю інтегрованою, тобто сигнал має скінчену енергію :
Для реальних систем це очевидно, оскільки не можливо згенерувати сигнал, який має нескінчену енергію.
Дискретне перетворення Фур’є(ДПФ)
Пряме:
для
де : .
Обернене:
для .
Розкриємо зв’язок між дискретним та інтегральним перетворенням Фур’є для формул аналізу.
Обмежившись сіткою для : , тобто: можемо записати:
Таким чином, формула зв’язку буде мати вигляд:
Збільшуючи зменшуємо похибку. При цьому необхідно зменшувати , тобто збільшувати роздільну здатність по частоті (при цьому збільшується і кількість відліків).
Спектральний аналіз неперіодичних сигналів.
Для неперіодичного сигналу спектральне подання описується парою інтегральних перетворень
, (пряме),
, (обернене).
При цьому має місце рівність Парсеваля :
.
Нехай для і і одночасно для . Покладемо , , . Тоді для наближеного обчислення , використовуючи формулу чисельного інтегрування прямокутників, отримуємо вираз:
, .
Таким чином, для обчислення спектру неперіодичного сигналу (з кроком у смузі ()) можна скористатися формулою ДПФ і, як наслідок, алгоритмами ШПФ. Для підвищення роздільної здатності (зменшення в раз) потрібно фактично чи формально (для фінітних сигналів, що рівні нулю при ) збільшити (в раз), доповнивши послідовність нульовими відліками: при і при . Для розширення смуги аналізу в раз зменшуємо (збільшуємо в раз ).
Спектральний аналіз періодичних сигналів
Нехай - періодичний сигнал з періодом Т. Якщо він описується неперервною або кусочно-неперервною функцією, то його можна подати у вигляді ряду Фур'є
, (1)
, (2)
де - основна гармоніка.
Коефіцієнти називають частотним спектром,
- амплітудним спектром,
- фазовим спектром.
Нехай , . Тобто, пряме ДПФ наближає (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є: , .
Рівність Парсеваля тут має вигляд:
.
При збільшенні , зменшенні , похибка (методу) такого представлення зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сиг...
